Une probabilité conditionnelle sur une loi de Poisson

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 5 — Variables aléatoires discrètes infinies · La loi de Poisson

Énoncé

Le nombre $X$ de pannes d'un réseau au cours d'une journée suit la loi de Poisson de paramètre $λ = 2$ . Sachant qu'il y a eu au moins une panne, quelle est la probabilité qu'il n'y en ait eu qu'une seule ?

Corrigé

Ce qu'on cherche. La probabilité conditionnelle $P_{[X \geq 1]} (X = 1)$ , qui vaut par définition $P_{[X \geq 1]} (X = 1) = \frac{P ( [ X = 1 ] \cap [ X \geq 1 ] )}{P ( X \geq 1 )} = \frac{P ( X = 1 )}{P ( X \geq 1 )},$ car l'événement $[X = 1]$ est inclus dans $[X \geq 1]$ : leur intersection est $[X = 1]$ .

Le numérateur. La loi de Poisson donne $P (X = k) = e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !}$ , donc $P (X = 1) = e^{- 2} \times \frac{2 ^{1}}{1 !} = 2 e^{- 2} \approx 0, 2707.$

Le dénominateur. On passe par le complémentaire, comme toujours pour un « au moins un » : $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - e^{- 2} \approx 1 - 0, 1353 = 0, 8647.$ Il est non nul, donc le conditionnement a un sens.

Le quotient. $P_{[X \geq 1]} (X = 1) = \frac{2 e ^{- 2}}{1 - e ^{- 2}} \approx \frac{0 , 2707}{0 , 8647} \approx 0, 313.$

Contrôle de cohérence. Cette valeur doit dépasser $P (X = 1) \approx 0, 271$ : conditionner par $[X \geq 1]$ élimine le cas $X = 0$ et redistribue sa masse sur les autres, qui ne peuvent que gagner. C'est bien ce qu'on observe.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.