Une roue à trois secteurs

Le paramètre. Les trois secteurs sont équiprobables et un seul est gagnant, donc la probabilité de succès à chaque tour vaut $p=\frac{1}{3}$.

La loi. Épreuve répétée, tours indépendants, rang du premier succès : $X$ suit la loi géométrique de paramètre $\frac{1}{3}$, avec $$P(X=k)={\left(\frac{2}{3}\right)}^{k-1}\times \frac{1}{3}\text{pour tout entier }k\ge 1.$$

La valeur en $2$. $$P(X=2)=\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{9}\approx 0,222.$$ C'est la probabilité de perdre au premier tour puis de gagner au second.

Espérance et écart-type. $$E(X)=\frac{1}{1/3}=3,V(X)=\frac{2/3}{(1/3{)}^2}=6,\sigma (X)=\sqrt{6}\approx 2,45.$$

Interprétation. Il faut en moyenne trois tours — un résultat conforme à l'intuition, puisqu'un tour sur trois est gagnant. Mais l'écart-type, $2,45$, montre que ce nombre varie beaucoup d'un joueur à l'autre.