Une roue à trois secteurs

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 5 — Variables aléatoires discrètes infinies · Reconnaître la loi du premier succès

Énoncé

Une roue comporte trois secteurs de même taille, dont un seul est gagnant. On la fait tourner jusqu'à obtenir le secteur gagnant, les tours étant indépendants. On note $X$ le rang du premier tour gagnant. Donner la loi de $X$ , puis $P (X = 2)$ , $E (X)$ et $σ (X)$ .

Corrigé

Le paramètre. Les trois secteurs sont équiprobables et un seul est gagnant, donc la probabilité de succès à chaque tour vaut $p = \frac{1}{3}$ .

La loi. Épreuve répétée, tours indépendants, rang du premier succès : $X$ suit la loi géométrique de paramètre $\frac{1}{3}$ , avec $P (X = k) = (\frac{2}{3})^{k - 1} \times \frac{1}{3} pour tout entier k \geq 1.$

La valeur en $2$ . $P (X = 2) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \approx 0, 222.$ C'est la probabilité de perdre au premier tour puis de gagner au second.

Espérance et écart-type. $E (X) = \frac{1}{1/3} = 3, V (X) = \frac{2/3}{( 1/3 ) ^{2}} = 6, σ (X) = 6 \approx 2, 45.$

Interprétation. Il faut en moyenne trois tours — un résultat conforme à l'intuition, puisqu'un tour sur trois est gagnant. Mais l'écart-type, $2, 45$ , montre que ce nombre varie beaucoup d'un joueur à l'autre.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.