Une roue de loterie, jusqu'au premier gain

La reconnaissance. Trois éléments sont réunis : une même épreuve répétée (un tour de roue), des répétitions indépendantes, et une variable qui compte le rang du premier succès. Donc $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p=0,3$, avec $X(\Omega )={\mathbb{N}}^{\ast }$ et $P(X=k)=0,3\times (0,7{)}^{k-1}$.

Espérance et écart-type. Les formules du cours donnent $$E(X)=\frac{1}{0,3}=\frac{10}{3}\approx 3,33,V(X)=\frac{0,7}{0,09}\approx 7,78,\sigma (X)=\sqrt{7,78}\approx 2,79.$$

La queue, une fois pour toutes. L'événement $[X>n]$ signifie que les $n$ premiers tours sont tous perdants ; par indépendance, $$P(X>n)=(0,7{)}^n.$$

Les deux probabilités. $$P(X\le 5)=1-P(X>5)=1-(0,7{)}^5=1-0,168=0,832,$$ $$P(X>8)=(0,7{)}^8\approx 0,058.$$

Interprétation. Il faut en moyenne un peu plus de trois tours pour gagner, et cinq tours suffisent dans plus de $83\%$ des cas. Mais l'écart-type, $2,79$, est presque aussi grand que l'espérance : l'attente est très irrégulière, et près de $6\%$ des joueurs dépassent huit tours.