Vérifier que c'est bien une loi

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 5 — Variables aléatoires discrètes infinies · Une loi définie par une série

Énoncé

On pose $P (X = k) = \frac{3}{4 ^{k}}$ pour tout entier $k \geq 1$ . Vérifier que cela définit bien la loi d'une variable aléatoire à valeurs dans $N^{*}$ , puis calculer $P (X \geq 3)$ .

Corrigé

Positivité. Pour tout $k \geq 1$ , $\frac{3}{4 ^{k}} > 0$ : la première condition est remplie.

La somme. C'est une série géométrique de raison $\frac{1}{4}$ , qui converge puisque $\frac{1}{4} < 1$ . En factorisant le premier terme, d'indice $k = 1$ : $k = 1 \sum + \infty \frac{3}{4 ^{k}} = 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{3}{4} \times \frac{4}{3} = 1.$ Les deux conditions étant réunies, il s'agit bien d'une loi de probabilité.

La queue. Le même calcul, en démarrant à $k = 3$ : $P (X \geq 3) = k = 3 \sum + \infty \frac{3}{4 ^{k}} = 3 \times \frac{1}{4 ^{3}} \times \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{3}{64} \times \frac{4}{3} = \frac{1}{16} = 0, 0625.$

Contrôle. $P (X = 1) = \frac{3}{4}$ et $P (X = 2) = \frac{3}{16}$ , donc $P (X \leq 2) = \frac{12 + 3}{16} = \frac{15}{16}$ , et le complémentaire vaut bien $\frac{1}{16}$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.