Vérifier que c'est bien une loi

Positivité. Pour tout $k\ge 1$, $\frac{3}{4^k}>0$ : la première condition est remplie.

La somme. C'est une série géométrique de raison $\frac{1}{4}$, qui converge puisque $\left|\frac{1}{4}\right|<1$. En factorisant le premier terme, d'indice $k=1$ : $$\sum _{k=1}^{+\infty }\frac{3}{4^k}=3\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{3}{4}\times \frac{4}{3}=1.$$ Les deux conditions étant réunies, il s'agit bien d'une loi de probabilité.

La queue. Le même calcul, en démarrant à $k=3$ : $$P(X\ge 3)=\sum _{k=3}^{+\infty }\frac{3}{4^k}=3\times \frac{1}{4^3}\times \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{3}{64}\times \frac{4}{3}=\frac{1}{16}=0,0625.$$

Contrôle. $P(X=1)=\frac{3}{4}$ et $P(X=2)=\frac{3}{16}$, donc $P(X\le 2)=\frac{12+3}{16}=\frac{15}{16}$, et le complémentaire vaut bien $\frac{1}{16}$.