Calculer Q(A)

Le carré. Ligne par colonne, $$A^2=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 2+3\\ 0& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 0& 9\end{array}\right).$$

Le polynôme de matrice. $Q(A)$ signifie $A^2-5A+6I_2$ : le terme constant $6$ devient $6I_2$, et non le nombre $6$. Donc $$Q(A)=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 0& 9\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}10& 5\\ 0& 15\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$$

Conclusion. $Q(A)=0$ : le polynôme $Q$ est un polynôme annulateur de $A$.

Contrôle. On retrouve $Q$ sans calcul : la somme des coefficients diagonaux vaut $2+3=5$ et $ad-bc=6-0=6$, ce qui donne exactement $X^2-5X+6$.