Calculer un polynôme de matrice

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 6 — Réduction des matrices carrées · Polynôme d'une matrice et polynôme annulateur

Énoncé

Soit $A = (3212)$ et $Q (X) = X^{2} - 5 X + 4$ . Calculer $A^{2}$ , puis $Q (A)$ . Conclure.

Corrigé

Le carré. $A^{2} = (111056)$ , en calculant par exemple le coefficient en haut à gauche : $3 \times 3 + 1 \times 2 = 11$ .

Le polynôme. $Q (A) = (111056) - (1510510) + (4004) = (0000)$ .

Conclusion. $Q$ annule $A$ , et on le retrouve sans calcul : $a + d = 5$ et $a d - b c = 6 - 2 = 4$ , donc le polynôme du cours est bien $X^{2} - 5 X + 4$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.