Construire P et D, puis les contrôler

Les candidats. La somme des coefficients diagonaux vaut $4+1=5$ et $ad-bc=4+2=6$, donc $X^2-5X+6=(X-2)(X-3)$ annule $A$ : les candidats sont $2$ et $3$.

Pour $\lambda =2$. $AX=2X$ donne $4x-2y=2x$, soit $2x=2y$, soit $y=x$. On prend $X_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$.

Pour $\lambda =3$. $AX=3X$ donne $4x-2y=3x$, soit $x=2y$. On prend $X_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$.

Les deux matrices. On range les vecteurs propres en colonnes, et les valeurs propres correspondantes dans le même ordre : $$P=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right).$$

Le premier contrôle. $$AP=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 2& 3\end{array}\right)=PD,$$ les colonnes de $AP$ étant $A{X}_1=2X_1$ et $A{X}_2=3X_2$.

L'inverse de $P$. $ad-bc=1-2=-1\ne 0$, donc $P$ est inversible et $$P^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -1\end{array}\right).$$

Le second contrôle. $PD{P}^{-1}=(AP)P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 1& 1\end{array}\right)=A$.