D'une relation aux puissances

Ce qu'on montre. Une relation entre $A^2$, $A$ et $I_3$ suffit à exprimer toutes les puissances de $A$ à l'aide de deux matrices seulement.

La vérification. Ligne par colonne, $A^2=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$ — le coefficient $(2,1)$ vient de la ligne $(1,1,0)$ multipliée par la colonne $(2,1,0)$, soit $1\times 2+1\times 1=3$. Et $$3A-2I_3=\left(\begin{array}{ccc}6& 0& 0\\ 3& 3& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right)-2I_3=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right).$$ Les deux matrices coïncident.

Le polynôme annulateur. La relation s'écrit $A^2-3A+2I_3=0$, donc $Q(X)=X^2-3X+2=(X-1)(X-2)$ annule $A$.

Les puissances. On multiplie par $A$ et l'on réinjecte à chaque fois : $$A^3=3A^2-2A=3(3A-2I_3)-2A=7A-6I_3,$$ $$A^4=7A^2-6A=7(3A-2I_3)-6A=15A-14I_3.$$

Contrôles. $A$ porte sur sa diagonale $2$, $1$, $2$ ; $A^3$ doit donc porter $8$, $1$, $8$, et la formule donne $7\times 2-6=8$ et $7-6=1$. Pour $A^4$ : $15\times 2-14=16=2^4$ et $15-14=1$.

Le point à retenir. Une relation de degré $2$ ramène toute puissance de $A$ à la forme $\alpha A+\beta I_n$ : à chaque montée d'un cran, on remplace $A^2$ par sa valeur.