Deux colonnes à tester

Ce qu'il faut vérifier. Une colonne non nulle $X$ est vecteur propre de $A$ s'il existe un réel $\lambda$ tel que $AX=\lambda X$ : autrement dit, si $AX$ est un multiple de $X$.

Pour $X$. $$AX=\left(\begin{array}{c}0\times 1+1\times 2\\ 2\times 1+1\times 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=2X.$$ La colonne $X$ est non nulle : c'est donc un vecteur propre de $A$, associé à la valeur propre $2$.

Pour $Y$. $$AY=\left(\begin{array}{c}0+1\\ 2+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right).$$ Pour que ce soit $\lambda Y$, il faudrait $\lambda =1$ (première ligne) et $\lambda =3$ (seconde ligne) à la fois : impossible. Donc $Y$ n'est pas vecteur propre de $A$.

Contrôle. La somme des coefficients diagonaux de $A$ vaut $1$ et $ad-bc=-2$, donc $X^2-X-2=(X-2)(X+1)$ annule $A$ : $2$ est bien un candidat, et l'on vient de confirmer que c'en est une.