Deux suites qui s'alimentent l'une l'autre

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 6 — Réduction des matrices carrées · Applications de la réduction

Énoncé

Deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ vérifient $u_{0} = 1$ , $v_{0} = 0$ et, pour tout $n \geq 0$ , $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3 v_{n}$ et $v_{n + 1} = 3 u_{n} + 2 v_{n}$ . Écrire la matrice $A$ telle que $(u_{n + 1} v_{n + 1}) = A (u_{n} v_{n})$ , déterminer ses éléments propres, puis donner $u_{n}$ et $v_{n}$ en fonction de $n$ .

Corrigé

La matrice. En lisant les coefficients ligne par ligne, $A = (2332), X_{n} = (u_{n} v_{n}), X_{n + 1} = A X_{n} .$

Les éléments propres. La somme des coefficients diagonaux vaut $4$ et $a d - b c = 4 - 9 = - 5$ , donc $X^{2} - 4 X - 5 = (X - 5) (X + 1)$ annule $A$ . Pour $λ = 5$ : $2 x + 3 y = 5 x$ donne $y = x$ , d'où $X_{(1)} = (11)$ . Pour $λ = - 1$ : $2 x + 3 y = - x$ donne $y = - x$ , d'où $X_{(2)} = (1 - 1)$ .

Décomposer l'état initial. On cherche $α, β$ avec $X_{0} = α X_{(1)} + β X_{(2)}$ : le système $α + β = 1$ , $α - β = 0$ donne $α = β = \frac{1}{2}$ .

Le passage à l'ordre $n$ . Une récurrence immédiate donne $A^{n} X_{(1)} = 5^{n} X_{(1)}$ et $A^{n} X_{(2)} = (- 1)^{n} X_{(2)}$ , donc $X_{n} = A^{n} X_{0}$ vaut $X_{n} = \frac{1}{2} 5^{n} (11) + \frac{1}{2} (- 1)^{n} (1 - 1),$ soit $u_{n} = \frac{5 ^{n} + ( - 1 ) ^{n}}{2}, v_{n} = \frac{5 ^{n} - ( - 1 ) ^{n}}{2} .$

Contrôles. $n = 0$ : $u_{0} = 1$ , $v_{0} = 0$ . $n = 1$ : $u_{1} = 2$ , $v_{1} = 3$ , ce que donne aussi la récurrence. $n = 2$ : $u_{2} = 13$ , $v_{2} = 12$ , et $2 \times 2 + 3 \times 3 = 13$ , $3 \times 2 + 2 \times 3 = 12$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.