Diagonaliser, puis élever à la puissance

Réduction des matrices carrées · Puissances et suites récurrentes · niveau 2

Énoncé

Soit $A = (3212)$ , de valeurs propres $4$ et $1$ . Construire $P$ et $D$ , calculer $P^{- 1}$ , puis donner $A^{n}$ pour tout $n \geq 1$ .

Corrigé

Les vecteurs propres. Pour $λ = 4$ : $3 x + y = 4 x$ donne $y = x$ , d'où $(11)$ . Pour $λ = 1$ : $3 x + y = x$ donne $y = - 2 x$ , d'où $(1 - 2)$ .

Les matrices. $P = (11 1 - 2)$ et $D = (4001)$ . Comme $a d - b c = - 2 - 1 = - 3 \neq = 0$ , $P$ est inversible et $P^{- 1} = \frac{1}{- 3} (- 2 - 1 - 1 1) = \frac{1}{3} (21 1 - 1)$ .

Les puissances. $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ avec $D^{n} = (4^{n} 0 01)$ , soit $A^{n} = \frac{1}{3} (2 \cdot 4^{n} + 1 2 \cdot 4^{n} - 2 4^{n} - 1 4^{n} + 2)$ .

Contrôles. $n = 1$ redonne $A$ , et $n = 2$ donne $(111056)$ , qui est bien $A^{2}$ .

Énoncé

Corrigé

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