Diagonaliser, puis monter en puissance

L'annulateur. La somme des coefficients diagonaux vaut $2$ et $ad-bc=1-4=-3$, donc $X^2-2X-3=(X-3)(X+1)$ annule $A$ : les candidats sont $3$ et $-1$.

Les vecteurs propres. Pour $\lambda =3$ : $x+2y=3x$ donne $y=x$, d'où $X_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$. Pour $\lambda =-1$ : $x+2y=-x$ donne $y=-x$, d'où $X_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$. Les deux sont non nulles : les deux candidats sont bien valeurs propres.

Les matrices de passage. $$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& -1\end{array}\right),P^{-1}=\frac{1}{-2}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),$$ puisque $ad-bc=-1-1=-2$. On vérifie $AP=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 3& 1\end{array}\right)=PD$.

Les puissances. De $A=PD{P}^{-1}$ on tire $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$ par récurrence, les $P^{-1}P$ intermédiaires se simplifiant. Avec $D^n=\left(\begin{array}{cc}{3}^n& 0\\ 0& (-1{)}^n\end{array}\right)$ : $$A^n=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{3}^n+(-1{)}^n& 3^n-(-1{)}^n\\ 3^n-(-1{)}^n& 3^n+(-1{)}^n\end{array}\right).$$

Contrôles. $n=1$ donne $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 4& 2\end{array}\right)=A$ ; $n=2$ donne $\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$, ce que confirme le calcul direct de $A^2$.