Éléments propres d'une matrice d'ordre 2

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 6 — Réduction des matrices carrées · Valeurs propres et vecteurs propres

Énoncé

Soit $A = (4123)$ . Donner un polynôme annulateur de $A$ , en déduire ses valeurs propres, puis un vecteur propre pour chacune.

Corrigé

Le polynôme. $a + d = 7$ et $a d - b c = 12 - 2 = 10$ , donc $Q (X) = X^{2} - 7 X + 10$ annule $A$ . Ses racines sont $2$ et $5$ , car $Q (X) = (X - 2) (X - 5)$ .

Pour $λ = 5$ . $A X = 5 X$ donne $4 x + 2 y = 5 x$ , soit $x = 2 y$ . La colonne $(21)$ convient : $A (21) = (105) = 5 (21)$ .

Pour $λ = 2$ . $A X = 2 X$ donne $4 x + 2 y = 2 x$ , soit $y = - x$ . La colonne $(1 - 1)$ convient : $A (1 - 1) = (2 - 2)$ .

Bilan. Les deux candidats sont des valeurs propres, et l'on n'a résolu que des systèmes numériques.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.