Inverser par un polynôme annulateur

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 6 — Réduction des matrices carrées · L'inverse par un polynôme annulateur

Énoncé

Soit $A = (4123)$ , qui vérifie $A^{2} - 7 A + 10 I_{2} = 0$ . Déterminer $A^{- 1}$ sans utiliser le pivot de Gauss, puis vérifier.

Corrigé

Isoler l'identité. De $A^{2} - 7 A + 10 I_{2} = 0$ on tire $A (7 I_{2} - A) = 10 I_{2}$ , puis $A^{- 1} = \frac{1}{10} (7 I_{2} - A) = \frac{1}{10} (3 - 1 - 2 4)$ .

Vérification. $(4123) (3 - 1 - 2 4) = (100010)$ , et en divisant par $10$ on obtient $I_{2}$ .

Cohérence. La formule d'ordre $2$ donne $A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$ , soit le même résultat : ce n'est pas une coïncidence, le terme constant de l'annulateur étant justement $a d - b c$ .

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