Inverser par un polynôme annulateur

Isoler l'identité. De $A^2-7A+10I_2=0$ on tire $A(7I_2-A)=10I_2$, puis $A^{-1}=\frac{1}{10}(7I_2-A)=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 4\end{array}\right)$.

Vérification. $\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& 0\\ 0& 10\end{array}\right)$, et en divisant par $10$ on obtient $I_2$.

Cohérence. La formule d'ordre $2$ donne $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$, soit le même résultat : ce n'est pas une coïncidence, le terme constant de l'annulateur étant justement $ad-bc$.