Inverser une matrice d'ordre 2 sans pivot

L'annulateur. La somme des coefficients diagonaux vaut $3+4=7$, et $ad-bc=12-2=10$. Donc $$A^2-7A+10I_2=0.$$

Le retournement. On isole le terme en $I_2$ : $$A^2-7A=-10I_2,\text{soit}A(7I_2-A)=10I_2.$$ Comme $10\ne 0$, on divise par $10$ : $$A\times \frac{1}{10}(7I_2-A)=I_2,$$ et le même calcul à gauche donne l'autre égalité. Donc $A$ est inversible, et $$A^{-1}=\frac{1}{10}(7I_2-A)=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -2& 3\end{array}\right).$$

La vérification. $$A\times \frac{1}{10}\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -2& 3\end{array}\right)=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{cc}12-2& -3+3\\ 8-8& -2+12\end{array}\right)=I_2.$$

Le contrôle par l'autre formule. L'inverse d'une matrice d'ordre $2$ vaut $\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -2& 3\end{array}\right)$ : les deux méthodes donnent le même résultat.