Inverser une matrice d'ordre 3 sans pivot

Ce qu'on montre. Une relation annulatrice à terme constant non nul donne l'inverse en une ligne, même à l'ordre $3$ où aucun déterminant n'est disponible.

La vérification. Ligne par colonne, $B^2=\left(\begin{array}{ccc}9& 0& 0\\ 4& 1& 0\\ 0& 0& 9\end{array}\right)$, le coefficient $(2,1)$ venant de $(1,1,0)$ multipliée par la colonne $(3,1,0)$ : $3+1=4$. Et $4B-3I_3=\left(\begin{array}{ccc}12& 0& 0\\ 4& 4& 0\\ 0& 0& 12\end{array}\right)-3I_3$ donne la même matrice.

L'inverse. La relation $B^2-4B+3I_3=0$ se réécrit en isolant $I_3$ : $$B(4I_3-B)=3I_3,$$ et le même calcul à gauche donne $(4I_3-B)B=3I_3$. Le terme constant $3$ étant non nul, on divise : $B$ est inversible et $$B^{-1}=\frac{1}{3}(4I_3-B)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

Le contrôle. $$\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)=I_3,$$ la deuxième ligne donnant $1-1=0$ puis $3$.

Le point à retenir. Le déterminant s'arrête à l'ordre $2$ ; le polynôme annulateur, lui, ne connaît pas cette limite. De $A^2-sA+p{I}_n=0$ avec $p\ne 0$ on tire toujours $A^{-1}=\frac{1}{p}(s{I}_n-A)$.