La répartition à long terme

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 6 — Réduction des matrices carrées · Puissances et suites récurrentes

Énoncé

Une chaîne de magasins répartit sa clientèle entre deux enseignes selon $M = (0, 8 0, 2 0, 3 0, 7)$ , avec au départ $X_{0} = (10)$ . Calculer $X_{1}$ , $X_{2}$ et $X_{3}$ , puis, sachant que $a_{n} = 0, 6 + 0, 4 \times 0, 5^{n}$ , déterminer la limite de la répartition.

Corrigé

Les trois premiers états. $X_{1} = M X_{0} = (0, 8 0, 2)$ , puis $X_{2} = (0, 64 + 0, 06 0, 16 + 0, 14) = (0, 70 0, 30)$ et $X_{3} = (0, 56 + 0, 09 0, 14 + 0, 21) = (0, 65 0, 35)$ .

Cohérence avec la formule. $0, 6 + 0, 4 \times 0, 5 = 0, 8$ , $0, 6 + 0, 4 \times 0, 25 = 0, 7$ et $0, 6 + 0, 4 \times 0, 125 = 0, 65$ . Les trois valeurs coïncident.

La limite. $0, 5^{n}$ tend vers $0$ , donc $a_{n}$ tend vers $0, 6$ et $b_{n} = 1 - a_{n}$ vers $0, 4$ : la répartition se stabilise à $60 %$ / $40 %$ .

Interprétation. Cette limite est le vecteur propre associé à la valeur propre $1$ , à savoir $(3, 2)$ , normalisé en $(0, 6; 0, 4)$ pour que la somme fasse $1$ .

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