La répartition qui ne bouge plus

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 6 — Réduction des matrices carrées · Puissances et suites récurrentes

Énoncé

Une population de $1000$ abonnés se répartit entre deux offres. Chaque mois, la répartition est transformée par $M = (0, 7 0, 3 0, 2 0, 8)$ . Montrer que le nombre total d'abonnés est conservé d'un mois sur l'autre, donner les valeurs propres de $M$ , puis déterminer la répartition $X$ vérifiant $M X = X$ et totalisant $1000$ abonnés.

Corrigé

Ce qu'on montre. La valeur propre $1$ d'une matrice de transfert vient de la conservation du total, et son vecteur propre est la répartition qui ne bouge plus.

La conservation. Pour $X = (x y)$ , la somme des composantes de $M X$ vaut $(0, 7 + 0, 3) x + (0, 2 + 0, 8) y = x + y .$ La raison se lit sur $M$ : chacune de ses colonnes somme à $1$ . Aucun abonné ne disparaît ni n'apparaît.

Les valeurs propres. La somme des coefficients diagonaux vaut $1, 5$ et $a d - b c = 0, 56 - 0, 06 = 0, 5$ , donc $Q (X) = X^{2} - 1, 5 X + 0, 5 = (X - 1) (X - 0, 5)$ annule $M$ : les candidats sont $1$ et $0, 5$ . Pour $λ = 1$ , $0, 7 x + 0, 2 y = x$ donne $3 x = 2 y$ et la colonne $(2, 3)$ convient ; pour $λ = 0, 5$ , on trouve $y = - x$ et la colonne $(1, - 1)$ . Les deux candidats sont bien valeurs propres.

La répartition stable. Elle est de la forme $t (2, 3)$ , et le total impose $5 t = 1000$ , donc $t = 200$ et $X = (400600)$ .

Contrôle. $M X = (280 + 120 120 + 480) = (400600)$ : la répartition est invariante.

Le point à retenir. Chercher la répartition stable, c'est chercher un vecteur propre pour la valeur propre $1$ , puis le normaliser au bon total. La seconde valeur propre, ici $0, 5$ , gouverne la vitesse d'approche.

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