Les candidats d'une matrice triangulaire

Le moule. Tous les coefficients situés sous la diagonale sont nuls : $T$ est triangulaire supérieure.

Les candidats. Pour une matrice triangulaire, les valeurs propres sont à chercher parmi les coefficients diagonaux. Ici la diagonale porte $3$, $-1$ et $5$ : ce sont les seuls candidats.

La justification. Si $\lambda$ n'est aucun de ces trois nombres, la matrice $T-\lambda I_3$ est encore triangulaire, et ses coefficients diagonaux $3-\lambda$, $-1-\lambda$, $5-\lambda$ sont tous non nuls. Par le critère d'inversibilité des matrices triangulaires, elle est inversible. L'égalité $TX=\lambda X$ s'écrit $(T-\lambda I_3)X=0$, et donne alors $X=0$ : aucun vecteur propre, donc $\lambda$ n'est pas valeur propre.

L'inversibilité. Le même critère s'applique à $T$ elle-même : ses coefficients diagonaux $3$, $-1$ et $5$ sont tous non nuls, donc $T$ est inversible.

Le lien entre les deux. $0$ n'est pas coefficient diagonal, donc $0$ n'est pas valeur propre — et de fait, une matrice dont $0$ est valeur propre n'est jamais inversible.