Les éléments propres, en deux temps

Étape 1 : l'annulateur. La somme des coefficients diagonaux vaut $5+(-2)=3$, et $ad-bc=-10+12=2$. Donc $$Q(X)=X^2-3X+2=(X-1)(X-2)$$ est un polynôme annulateur de $A$, et les seuls candidats comme valeurs propres sont $1$ et $2$.

Étape 2, pour $\lambda =1$. On résout $AX=X$ avec $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$. La première ligne donne $5x-2y=x$, soit $4x=2y$, soit $y=2x$. (La seconde ligne, $6x-2y=y$, donne $6x=3y$, la même chose.) La colonne $$X_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$$ convient, et elle est non nulle : $1$ est bien valeur propre.

Étape 2, pour $\lambda =2$. On résout $AX=2X$. La première ligne donne $5x-2y=2x$, soit $3x=2y$. La colonne $$X_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$$ convient, non nulle : $2$ est bien valeur propre.

Contrôles. $A{X}_1=\left(\begin{array}{c}5-4\\ 6-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=X_1$, et $A{X}_2=\left(\begin{array}{c}10-6\\ 12-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)=2X_2$.

Le point à ne pas manquer. Un vecteur propre n'est jamais nul : c'est cette exigence qui distingue une vraie valeur propre d'un simple candidat.