Les puissances d'une matrice qui ne se diagonalise pas

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 6 — Réduction des matrices carrées · Applications de la réduction

Énoncé

Soit $A = (3013)$ . Montrer que $3$ est la seule valeur propre de $A$ , puis calculer $A^{n}$ pour tout entier $n \geq 1$ sans passer par une diagonalisation.

Corrigé

La seule valeur propre. $A$ est triangulaire : ses valeurs propres sont à chercher parmi ses coefficients diagonaux, qui valent tous deux $3$ . Et $3$ en est bien une, car $A (10) = (30) = 3 (10)$ , la colonne étant non nulle.

Pourquoi la diagonalisation échouerait. Si $A$ était diagonalisable, $D$ ne porterait que des $3$ , donc $D = 3 I_{2}$ et $A = P (3 I_{2}) P^{- 1} = 3 I_{2}$ , ce qui est faux. Il faut donc un autre chemin.

La décomposition. Posons $N = A - 3 I_{2} = (0010)$ , de sorte que $A = 3 I_{2} + N$ . On calcule $N^{2} = 0$ .

Le binôme. $3 I_{2}$ et $N$ commutent, car $I_{2}$ commute avec tout : la formule du binôme s'applique. Tous les termes contenant $N^{k}$ avec $k \geq 2$ étant nuls, il n'en reste que deux : $A^{n} = (3 I_{2} + N)^{n} = 3^{n} I_{2} + n 3^{n - 1} N = (3^{n} 0 n 3^{n - 1} 3^{n}) .$

Contrôles. Pour $n = 1$ : $(3013) = A$ . Pour $n = 2$ : la formule donne $(9069)$ , et le calcul direct de $A^{2}$ donne le même résultat, le coefficient $(1, 2)$ valant $3 \times 1 + 1 \times 3 = 6$ .

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