Les puissances par la formule Aⁿ = P Dⁿ P⁻¹ — exercice corrigé de mathématiques (ECT 2e année) (chapitre 6)

Les puissances par la formule

A^{n} = P D^{n} P^{- 1}

Réduction des matrices carrées · Diagonalisation et puissances · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $A = P D P^{- 1}$ avec $P = (1101)$ et $D = (2003)$ . Calculer $P^{- 1}$ , puis $A$ , puis $A^{n}$ pour tout entier $n \geq 1$ .

Corrigé

L'inverse de $P$ . $a d - b c = 1 \times 1 - 0 \times 1 = 1 \neq = 0$ , donc $P^{- 1} = \frac{1}{1} (1 - 1 01) = (1 - 1 01) .$

La matrice $A$ . On calcule d'abord $P D = (2203)$ , puis $A = (P D) P^{- 1} = (2203) (1 - 1 01) = (2 - 1 03) .$

La formule des puissances. Si $A = P D P^{- 1}$ , alors $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ pour tout $n \geq 1$ , les produits $P^{- 1} P$ intermédiaires se simplifiant en $I_{2}$ . Et $D^{n}$ s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance $n$ .

Le calcul. $P D^{n} = (2^{n} 2^{n} 0 3^{n})$ , donc $A^{n} = (2^{n} 2^{n} 0 3^{n}) (1 - 1 01) = (2^{n} 2^{n} - 3^{n} 0 3^{n}) .$

Contrôle. Pour $n = 1$ : $(2 2 - 3 03) = (2 - 1 03) = A$ .

Les puissances par la formule An=PDnP−1

Énoncé

Corrigé

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