Les puissances par la formule $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$

L'inverse de $P$. $ad-bc=1\times 1-0\times 1=1\ne 0$, donc $$P^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right).$$

La matrice $A$. On calcule d'abord $PD=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 3\end{array}\right)$, puis $$A=(PD)P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 3\end{array}\right).$$

La formule des puissances. Si $A=PD{P}^{-1}$, alors $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$ pour tout $n\ge 1$, les produits $P^{-1}P$ intermédiaires se simplifiant en $I_2$. Et $D^n$ s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance $n$.

Le calcul. $P{D}^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 2^n& 3^n\end{array}\right)$, donc $$A^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 2^n& 3^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 2^n-3^n& 3^n\end{array}\right).$$

Contrôle. Pour $n=1$ : $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2-3& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 3\end{array}\right)=A$.