Lire l'annulateur sur les coefficients

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 6 — Réduction des matrices carrées · Polynôme d'une matrice

Énoncé

Soit $A = (5234)$ . Donner sans calcul matriciel un polynôme annulateur de $A$ , puis le factoriser.

Corrigé

La règle. Pour toute matrice $(a c b d)$ d'ordre $2$ , le polynôme $Q (X) = X^{2} - (a + d) X + (a d - b c)$ est annulateur. Les deux coefficients se lisent directement sur la matrice.

Les deux nombres. La somme des coefficients diagonaux vaut $a + d = 5 + 4 = 9$ , et $a d - b c = 5 \times 4 - 3 \times 2 = 20 - 6 = 14.$

Le polynôme. $Q (X) = X^{2} - 9 X + 14$ .

La factorisation. On cherche deux nombres de somme $9$ et de produit $14$ : ce sont $2$ et $7$ . Donc $Q (X) = (X - 2) (X - 7) .$

Ce que cela apprend. Les seules valeurs propres possibles de $A$ sont $2$ et $7$ — mais il faudrait encore, pour chacune, exhiber une colonne non nulle $X$ telle que $A X = λ X$ pour affirmer qu'elle en est bien une.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.