Lire l'annulateur sur les coefficients

La règle. Pour toute matrice $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ d'ordre $2$, le polynôme $$Q(X)=X^2-(a+d)X+(ad-bc)$$ est annulateur. Les deux coefficients se lisent directement sur la matrice.

Les deux nombres. La somme des coefficients diagonaux vaut $a+d=5+4=9$, et $$ad-bc=5\times 4-3\times 2=20-6=14.$$

Le polynôme. $Q(X)=X^2-9X+14$.

La factorisation. On cherche deux nombres de somme $9$ et de produit $14$ : ce sont $2$ et $7$. Donc $$Q(X)=(X-2)(X-7).$$

Ce que cela apprend. Les seules valeurs propres possibles de $A$ sont $2$ et $7$ — mais il faudrait encore, pour chacune, exhiber une colonne non nulle $X$ telle que $AX=\lambda X$ pour affirmer qu'elle en est bien une.