Lire un polynôme annulateur sur la matrice

Les deux nombres à lire. Pour une matrice $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, le polynôme $$Q(X)=X^2-(a+d)X+(ad-bc)$$ est annulateur. Ici la somme des coefficients diagonaux vaut $a+d=1+2=3$, et $ad-bc=1\times 2-2\times 3=-4$. Donc $$Q(X)=X^2-3X-4.$$

La vérification. On calcule d'abord $$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ 9& 10\end{array}\right),$$ le coefficient en haut à gauche valant $1\times 1+2\times 3=7$. Puis $$A^2-3A-4I_2=\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ 9& 10\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 9& 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$$

La factorisation. Les racines de $X^2-3X-4$ sont $4$ et $-1$, car $4+(-1)=3$ et $4\times (-1)=-4$. Donc $Q(X)=(X-4)(X+1)$.

Les candidats. Toute valeur propre de $A$ est racine d'un polynôme annulateur de $A$. Les seules valeurs propres possibles sont donc $4$ et $-1$.

Le point délicat. Ce théorème ne se lit que dans un sens : il ferme la liste, mais ne garantit pas que chaque candidat en soit une. Il faudrait, pour chacun, exhiber une colonne $X\ne 0$ vérifiant $AX=\lambda X$.