Quand zéro est valeur propre

L'annulateur. La somme des coefficients diagonaux vaut $1+4=5$ et $ad-bc=4-4=0$. Donc $$Q(X)=X^2-5X=X(X-5)$$ annule $A$, et les seuls candidats sont $0$ et $5$.

Pour $\lambda =0$. On résout $AX=0$ : la première ligne donne $x+2y=0$, la seconde $2x+4y=0$, qui en est le double. Une seule contrainte donc, $x=-2y$, et la colonne $X_1=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)$, non nulle, convient : $0$ est valeur propre.

Pour $\lambda =5$. On résout $AX=5X$ : $x+2y=5x$, soit $2y=4x$, soit $y=2x$. La colonne $X_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ convient.

Contrôles. $A{X}_1=\left(\begin{array}{c}-2+2\\ -4+4\end{array}\right)=0$, et $A{X}_2=\left(\begin{array}{c}1+4\\ 2+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 10\end{array}\right)=5X_2$.

L'inversibilité. Il existe $X_1\ne 0$ avec $A{X}_1=0$ : si $A$ était inversible, multiplier à gauche par $A^{-1}$ donnerait $X_1=0$. Donc $A$ n'est pas inversible, ce que confirme $ad-bc=0$.

La diagonalisation. En rangeant $X_1$ et $X_2$ en colonnes, $$P=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& 2\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 5\end{array}\right),$$ et $P$ est inversible car $ad-bc=-4-1=-5\ne 0$. On a bien $AP=PD$, donc $A$ est diagonalisable. Une matrice diagonalisable peut donc parfaitement ne pas être inversible.