Reconstruire une matrice à partir de ses éléments propres

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 6 — Réduction des matrices carrées · Applications de la réduction

Énoncé

On pose $P = (1112)$ et $D = (2005)$ , puis $A = P D P^{- 1}$ . Démontrer que les colonnes de $P$ sont des vecteurs propres de $A$ , en précisant les valeurs propres associées. Calculer ensuite $A$ et vérifier le résultat.

Corrigé

Ce qu'on va montrer. Que la $j$ -ième colonne de $P$ est un vecteur propre de $A$ associé au $j$ -ième coefficient diagonal de $D$ .

La démonstration. De $A = P D P^{- 1}$ on tire, en multipliant à droite par $P$ : $A P = P D .$ Or la $j$ -ième colonne de $A P$ est $A C_{j}$ , où $C_{j}$ est la $j$ -ième colonne de $P$ , tandis que celle de $P D$ est $d_{j} C_{j}$ , car $D$ est diagonale. Donc : $A C_{j} = d_{j} C_{j} .$ Enfin $C_{j}$ est non nulle, sinon $P$ ne serait pas inversible. Donc $C_{j}$ est bien un vecteur propre associé à $d_{j}$ .

Ici. $(11)$ est vecteur propre associé à $2$ , et $(12)$ vecteur propre associé à $5$ .

Le calcul de $A$ . $a d - b c = 2 - 1 = 1$ , donc $P^{- 1} = (2 - 1 - 1 1)$ . Alors $P D = (22510)$ , et $A = (22510) (2 - 1 - 1 1) = (- 1 - 6 38) .$

Trois contrôles. La somme des coefficients diagonaux de $A$ vaut $- 1 + 8 = 7 = 2 + 5$ , et $a d - b c = - 8 + 18 = 10 = 2 \times 5$ : les deux nombres qui gouvernent l'annulateur sont bien la somme et le produit des valeurs propres. Enfin $A (11) = (22) = 2 (11)$ , comme annoncé.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.