Toutes les puissances, à partir d'une seule relation

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 6 — Réduction des matrices carrées · Polynôme d'une matrice et polynôme annulateur

Énoncé

Soit $A = (32 - 2 - 2)$ . Vérifier que $A^{2} = A + 2 I_{2}$ . En déduire par récurrence qu'il existe, pour tout entier $n \geq 1$ , deux réels $a_{n}$ et $b_{n}$ tels que $A^{n} = a_{n} A + b_{n} I_{2}$ , et donner les relations liant $a_{n + 1}$ , $b_{n + 1}$ à $a_{n}$ , $b_{n}$ . Calculer $A^{3}$ et $A^{4}$ .

Corrigé

La vérification. La somme des coefficients diagonaux vaut $3 + (- 2) = 1$ et $a d - b c = - 6 + 4 = - 2$ , donc $X^{2} - X - 2$ annule $A$ , c'est-à-dire $A^{2} = A + 2 I_{2}$ . Contrôle direct : $A^{2} = (9 - 4 6 - 4 - 6 + 4 - 4 + 4) = (52 - 2 0) = A + 2 I_{2} .$

L'initialisation. Au rang $n = 1$ , $A^{1} = 1 \times A + 0 \times I_{2}$ : on pose $a_{1} = 1$ et $b_{1} = 0$ .

L'hérédité. Supposons $A^{n} = a_{n} A + b_{n} I_{2}$ . Alors $A^{n + 1} = A^{n} \times A = a_{n} A^{2} + b_{n} A = a_{n} (A + 2 I_{2}) + b_{n} A = (a_{n} + b_{n}) A + 2 a_{n} I_{2} .$ C'est ici que la relation $A^{2} = A + 2 I_{2}$ fait tout le travail : elle remplace le carré, qui sortirait de la forme voulue, par une combinaison de $A$ et $I_{2}$ . La propriété est donc héréditaire, avec $a_{n + 1} = a_{n} + b_{n}, b_{n + 1} = 2 a_{n} .$

Les deux puissances. De $a_{1} = 1$ , $b_{1} = 0$ on tire $a_{2} = 1$ , $b_{2} = 2$ , puis $a_{3} = 3$ , $b_{3} = 2$ , puis $a_{4} = 5$ , $b_{4} = 6$ . Donc $A^{3} = 3 A + 2 I_{2} = (116 - 6 - 4), A^{4} = 5 A + 6 I_{2} = (2110 - 10 - 4) .$

Contrôle. $A^{3} = A^{2} \times A = (52 - 2 0) (32 - 2 - 2) = (116 - 6 - 4)$ . Les deux coïncident.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.