Une matrice d'ordre 3 et ses trois valeurs propres

Ce qu'on montre. Le caractère triangulaire ferme la liste des candidats ; il reste à ouvrir chaque porte.

Les candidats. $T$ étant triangulaire, ses valeurs propres sont à chercher parmi ses coefficients diagonaux : $1$, $2$ et $3$, et aucune autre valeur.

Les trois systèmes. Avec $X=(x,y,z)$ :

• $TX=X$ donne $x+2y=x$, $2y+3z=y$, $3z=z$ : d'où $z=0$ puis $y=0$. La colonne $X_1=(1,0,0)$ convient.
• $TX=2X$ donne $x+2y=2x$ et $3z=2z$ : d'où $z=0$ et $x=2y$. La colonne $X_2=(2,1,0)$ convient.
• $TX=3X$ donne $2y+3z=3y$ et $x+2y=3x$ : d'où $y=3z$ et $x=y$. La colonne $X_3=(3,3,1)$ convient.

Les trois candidats sont donc bien valeurs propres.

La construction. On range les vecteurs propres en colonnes et les valeurs propres correspondantes dans le même ordre : $$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right).$$

La vérification. $TP$ se calcule colonne par colonne, et chaque colonne de $P$ est un vecteur propre : par exemple $T{X}_3=(3+6,6+3,3)=3X_3$. De son côté, $PD$ multiplie la $j$-ième colonne de $P$ par le $j$-ième coefficient de $D$. Les deux produits valent $\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 9\\ 0& 2& 9\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$. Enfin $P$ est triangulaire à diagonale sans zéro, donc inversible : $T=PD{P}^{-1}$ est diagonalisable.

Le point à retenir. Vérifier $TP=PD$ évite tout calcul de $P^{-1}$, et dit exactement une chose : chaque colonne de $P$ est un vecteur propre pour le coefficient de $D$ qui lui fait face.