Une matrice d'ordre 3 qui n'est pas diagonalisable

Le calcul. Posons $N=A-2I_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$. Alors $N^2=0$, le seul coefficient non nul de $N$ rencontrant, dans le produit, une ligne entièrement nulle.

Le polynôme annulateur. L'égalité $(A-2I_3{)}^2=0$ signifie que $Q(X)=(X-2{)}^2$ annule $A$. Sa seule racine est $2$ : c'est le seul candidat, donc la seule valeur propre possible de $A$.

C'en est bien une. $A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ : la colonne est non nulle, donc $2$ est valeur propre, et c'est la seule.

Le raisonnement par l'absurde. Supposons $A$ diagonalisable : il existerait $P$ inversible et $D$ diagonale telles que $A=PD{P}^{-1}$. Les coefficients diagonaux de $D$ sont des valeurs propres de $A$ — or $A$ n'en a qu'une, $2$. Donc $D=2I_3$, et alors $$A=P(2I_3)P^{-1}=2P{P}^{-1}=2I_3.$$ C'est le point délicat : $2I_3$ commute avec tout, ce qui fait disparaître $P$. Or $A\ne 2I_3$, puisque son coefficient $(1,2)$ vaut $1$ et non $0$. Contradiction.

Conclusion. $A$ n'est pas diagonalisable. Une matrice peut donc avoir un polynôme annulateur très simple sans être diagonalisable pour autant.