Une matrice dont le cube est nul

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 6 — Réduction des matrices carrées · Polynôme d'une matrice et polynôme annulateur

Énoncé

Soit $N = 000100010$ . Calculer $N^{2}$ et $N^{3}$ . En déduire un polynôme annulateur de $N$ , puis montrer que $I_{3} + N$ est inversible et donner son inverse.

Corrigé

Les deux puissances. Ligne par colonne, $N^{2} = 000000100, N^{3} = N^{2} \times N = 000000000 .$ À chaque multiplication, la diagonale de $1$ se décale d'un cran vers la droite, jusqu'à sortir de la matrice.

Le polynôme annulateur. L'égalité $N^{3} = 0$ signifie exactement que $Q (X) = X^{3}$ est un polynôme annulateur de $N$ .

L'inverse de $I_{3} + N$ . On s'inspire de l'identité $(1 + x) (1 - x + x^{2}) = 1 + x^{3}$ , valable pour les matrices puisque $I_{3}$ et $N$ commutent : $(I_{3} + N) (I_{3} - N + N^{2}) = I_{3} + N^{3} = I_{3},$ tous les termes intermédiaires se simplifiant. Le même calcul dans l'autre ordre donne le même résultat.

Conclusion. $I_{3} + N$ est inversible, d'inverse $(I_{3} + N)^{- 1} = I_{3} - N + N^{2} = 100 - 1 10 1 - 1 1 .$

Contrôle. $I_{3} + N$ est triangulaire supérieure de coefficients diagonaux tous égaux à $1$ : par le critère des matrices triangulaires, elle est bien inversible. Et le produit des deux matrices ci-dessus se vérifie directement : on trouve $I_{3}$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.