Une matrice égale à son carré

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 6 — Réduction des matrices carrées · Diagonalisation

Énoncé

Soit $A = (21 - 2 - 1)$ . Vérifier que $A^{2} = A$ . Quelles sont les seules valeurs propres possibles ? Montrer qu'elles le sont toutes les deux, puis diagonaliser $A$ . La matrice $A$ est-elle inversible ?

Corrigé

Le carré. $A^{2} = (4 - 2 2 - 1 - 4 + 2 - 2 + 1) = (21 - 2 - 1) = A$ . Le polynôme $Q (X) = X^{2} - X = X (X - 1)$ annule donc $A$ . On le retrouve par le cours : $a + d = 1$ et $a d - b c = - 2 + 2 = 0$ .

Les candidats. Ce sont les racines de $Q$ , c'est-à-dire $0$ et $1$ .

Elles conviennent. Pour $λ = 0$ : $A X = 0$ donne $2 x - 2 y = 0$ , soit $y = x$ , d'où $(11)$ . Pour $λ = 1$ : $A X = X$ donne $2 x - 2 y = x$ , soit $x = 2 y$ , d'où $(21)$ , et l'on vérifie $A (21) = (21)$ .

Diagonalisation. Avec $P = (1121)$ et $D = (0001)$ : $a d - b c = 1 - 2 = - 1 \neq = 0$ , donc $P^{- 1} = (- 1 1 2 - 1)$ , et $P D P^{- 1} = A$ .

Inversibilité. $0$ est valeur propre, donc $A$ n'est pas inversible. On le confirme par $a d - b c = 0$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.