Une matrice égale à son carré

Le carré. $A^2=\left(\begin{array}{cc}4-2& -4+2\\ 2-1& -2+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& -1\end{array}\right)=A$. Le polynôme $Q(X)=X^2-X=X(X-1)$ annule donc $A$. On le retrouve par le cours : $a+d=1$ et $ad-bc=-2+2=0$.

Les candidats. Ce sont les racines de $Q$, c'est-à-dire $0$ et $1$.

Elles conviennent. Pour $\lambda =0$ : $AX=0$ donne $2x-2y=0$, soit $y=x$, d'où $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$. Pour $\lambda =1$ : $AX=X$ donne $2x-2y=x$, soit $x=2y$, d'où $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$, et l'on vérifie $A\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$.

Diagonalisation. Avec $P=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$ et $D=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ : $ad-bc=1-2=-1\ne 0$, donc $P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -1\end{array}\right)$, et $PD{P}^{-1}=A$.

Inversibilité. $0$ est valeur propre, donc $A$ n'est pas inversible. On le confirme par $ad-bc=0$.