Une matrice qui n'est pas diagonalisable

Le polynôme. $a+d=2$ et $ad-bc=1-0=1$, donc $X^2-2X+1=(X-1{)}^2$ annule $N$. On le vérifie : $N^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$, et $N^2-2N+I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.

La seule valeur propre. Le seul candidat est $1$, et c'est bien une valeur propre : $NX=X$ donne $x+y=x$, soit $y=0$, et $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ convient.

Elle n'est pas diagonalisable. Supposons qu'il existe $P$ inversible et $D$ diagonale avec $N=PD{P}^{-1}$. Les coefficients diagonaux de $D$ sont des valeurs propres de $N$, donc valent tous $1$ : ainsi $D=I_2$. Mais alors $N=P{I}_2{P}^{-1}=P{P}^{-1}=I_2$, ce qui est faux puisque le coefficient en haut à droite de $N$ vaut $1$ et non $0$. Contradiction.

La leçon. Toutes les matrices ne se diagonalisent pas : ici la seule direction propre est celle de $(1,0)$, et il n'y en a pas assez pour remplir les deux colonnes d'un $P$ inversible.