Une matrice triangulaire d'ordre 3

Les candidats. Pour une matrice triangulaire, les valeurs propres sont à chercher parmi les coefficients diagonaux. Ici la diagonale porte $2$, $2$ et $-1$ : les seuls candidats sont $2$ et $-1$.

Pourquoi. Si $\lambda$ n'est aucun coefficient diagonal, la matrice $T-\lambda I_3$ est encore triangulaire et ses coefficients diagonaux $t_{ii}-\lambda$ sont tous non nuls : elle est inversible, donc $(T-\lambda I_3)X=0$ force $X=0$, et il n'y a pas de vecteur propre.

Le vecteur donné. $$T\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),$$ et cette colonne est non nulle : $2$ est bien valeur propre.

Le second candidat. On résout $TX=-X$, système numérique à trois inconnues : $$2x+5y-z=-x,2y+3z=-y,-z=-z.$$ La deuxième équation donne $3y=-3z$, soit $y=-z$. En reportant dans la première : $3x+5(-z)-z=0$, soit $3x=6z$, donc $x=2z$. La troisième n'apporte rien. En prenant $z=1$ : $$X=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right).$$

Contrôle. $TX=\left(\begin{array}{c}4-5-1\\ -2+3\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -1\end{array}\right)=-X$. Le candidat $-1$ est bien valeur propre.