Une matrice triangulaire

Réduction des matrices carrées · Valeurs propres et vecteurs propres · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $T = 100220345$ . Quels sont les seuls candidats possibles comme valeurs propres de $T$ ? Justifier, puis donner un vecteur propre associé au plus petit d'entre eux.

Corrigé

Les candidats. $T$ est triangulaire supérieure : par la proposition du cours, une valeur propre ne peut être que $1$ , $2$ ou $5$ . En effet, pour tout autre $λ$ , la matrice $T - λ I_{3}$ est triangulaire à diagonale sans zéro, donc inversible, et $(T - λ I_{3}) X = 0$ force $X = 0$ .

Un vecteur propre pour $λ = 1$ . On cherche $X = (x, y, z)$ non nul avec $T X = X$ . La troisième ligne donne $5 z = z$ donc $z = 0$ ; la deuxième, $2 y = y$ donc $y = 0$ ; la première devient $x = x$ . La colonne $X = (1, 0, 0)$ convient : $1$ est bien valeur propre.

Vérification. $T (1, 0, 0) = (1, 0, 0)$ , lu directement sur la première colonne de $T$ .

Énoncé

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