Une relation donnée, un inverse déduit

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 6 — Réduction des matrices carrées · L'inverse par un polynôme annulateur

Énoncé

Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $3$ vérifiant $A^{2} = 5 A - 4 I_{3}$ . Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{- 1}$ en fonction de $A$ et de $I_{3}$ .

Corrigé

Ce qu'on cherche. Une matrice $B$ telle que $A B = B A = I_{3}$ : c'est la définition de l'inversibilité, et elle donne $B = A^{- 1}$ .

La mise en forme. L'hypothèse s'écrit $A^{2} - 5 A + 4 I_{3} = 0.$

On isole $I_{3}$ . En passant $4 I_{3}$ de l'autre côté : $A^{2} - 5 A = - 4 I_{3},$ puis, en mettant $A$ en facteur à gauche : $A (5 I_{3} - A) = 4 I_{3} .$ Le facteur $A$ pouvait aussi bien être mis à droite, puisque $A$ commute avec elle-même et avec $I_{3}$ : on obtient de même $(5 I_{3} - A) A = 4 I_{3}$ .

La conclusion. Comme $4 \neq = 0$ , on divise par $4$ : $A \times \frac{1}{4} (5 I_{3} - A) = I_{3} = \frac{1}{4} (5 I_{3} - A) \times A .$ Donc $A$ est inversible et $A^{- 1} = \frac{1}{4} (5 I_{3} - A) .$

La condition à ne pas oublier. Tout repose sur le fait que le terme constant de la relation, ici $4$ , est non nul. Avec $A^{2} = 5 A$ , la même méthode ne donnerait rien — et $A$ pourrait fort bien ne pas être inversible.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.