Une suite dont la matrice ne se diagonalise pas

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 6 — Réduction des matrices carrées · Puissances et suites récurrentes

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 3$ et $u_{n + 2} = 4 u_{n + 1} - 4 u_{n}$ . On pose $B = (41 - 4 0)$ , de sorte que $(u_{n + 2} u_{n + 1}) = B (u_{n + 1} u_{n})$ . Montrer que $B$ n'est pas diagonalisable, puis, en posant $v_{n} = u_{n + 1} - 2 u_{n}$ , donner $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Corrigé

Ce qu'on montre. Quand la matrice n'est pas diagonalisable, la formule $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ n'existe pas — mais une suite auxiliaire donne quand même le terme général.

Les valeurs propres. La somme des coefficients diagonaux vaut $4$ et $a d - b c = 0 + 4 = 4$ , donc $Q (X) = X^{2} - 4 X + 4 = (X - 2)^{2}$ annule $B$ : seul candidat, $2$ . Il est valeur propre, car $B X = 2 X$ donne $4 x - 4 y = 2 x$ , soit $x = 2 y$ , et la colonne $(2, 1)$ convient.

Elle n'est pas diagonalisable. Supposons $B = P D P^{- 1}$ avec $D$ diagonale. Alors $B^{k} = P D^{k} P^{- 1}$ , donc $Q (B) = P Q (D) P^{- 1}$ , et de $Q (B) = 0$ on tire $Q (D) = 0$ , c'est-à-dire $(D - 2 I_{2})^{2} = 0$ . Cette matrice est diagonale de coefficients $(d_{1} - 2)^{2}$ et $(d_{2} - 2)^{2}$ , tous deux nuls : $D = 2 I_{2}$ , d'où $B = P (2 I_{2}) P^{- 1} = 2 I_{2}$ , ce qui est faux. La supposition est absurde.

La suite auxiliaire. Avec $v_{n} = u_{n + 1} - 2 u_{n}$ et $v_{0} = 1$ : $v_{n + 1} = (4 u_{n + 1} - 4 u_{n}) - 2 u_{n + 1} = 2 (u_{n + 1} - 2 u_{n}) = 2 v_{n},$ donc $(v_{n})$ est géométrique de raison $2$ et $v_{n} = 2^{n}$ .

Le terme général. Il reste $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 2^{n}$ . En posant $w_{n} = \frac{u _{n}}{2 ^{n}}$ , la division par $2^{n + 1}$ donne $w_{n + 1} = w_{n} + \frac{1}{2}$ : $(w_{n})$ est arithmétique, $w_{0} = 1$ , donc $u_{n} = (1 + \frac{n}{2}) 2^{n} = 2^{n} + n 2^{n - 1}$ .

Contrôles. $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 3$ , $u_{2} = 4 + 4 = 8$ — et la relation donne $4 \times 3 - 4 = 8$ ; $u_{3} = 8 + 12 = 20$ , et la relation $32 - 12 = 20$ .

Le point à retenir. Une valeur propre double dont la matrice n'est pas diagonalisable se reconnaît dans le terme général : il y apparaît un facteur $n 2^{n - 1}$ , qu'une matrice diagonalisable ne produirait jamais.

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