Une suite récurrente d'ordre 2

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 6 — Réduction des matrices carrées · Puissances et suites récurrentes

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 5$ et $u_{n + 2} = 5 u_{n + 1} - 6 u_{n}$ . Écrire la matrice $B$ telle que $(u_{n + 2} u_{n + 1}) = B (u_{n + 1} u_{n})$ , en déduire ses valeurs propres, puis l'expression de $u_{n}$ .

Corrigé

La matrice. $u_{n + 2} = 5 u_{n + 1} - 6 u_{n}$ et $u_{n + 1} = u_{n + 1}$ donnent $B = (51 - 6 0)$ .

Les valeurs propres. $a + d = 5$ et $a d - b c = 0 - (- 6) = 6$ , donc $X^{2} - 5 X + 6 = (X - 2) (X - 3)$ annule $B$ : les valeurs propres sont $2$ et $3$ .

La forme de $u_{n}$ . On écrit $u_{n} = α 2^{n} + β 3^{n}$ . Les conditions initiales donnent $α + β = 1$ et $2 α + 3 β = 5$ ; en soustrayant deux fois la première de la seconde, $β = 3$ puis $α = - 2$ . D'où $u_{n} = - 2 \times 2^{n} + 3 \times 3^{n} = 3^{n + 1} - 2^{n + 1}$ .

Contrôles. $u_{0} = 3 - 2 = 1$ et $u_{1} = 9 - 4 = 5$ ; $u_{2} = 27 - 8 = 19$ , et la récurrence donne $5 \times 5 - 6 = 19$ ; $u_{3} = 81 - 16 = 65$ , et $5 \times 19 - 6 \times 5 = 65$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.