Vérifier qu'un vecteur est propre

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 6 — Réduction des matrices carrées · Valeurs propres et vecteurs propres

Énoncé

Soit $A = 211121112$ . Les colonnes $X = (1, 1, 1)$ , $Y = (1, - 1, 0)$ et $Z = (1, 1, 0)$ sont-elles des vecteurs propres de $A$ ? Si oui, pour quelle valeur propre ?

Corrigé

Pour $X$ . $A X = (2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2) = (4, 4, 4) = 4 X$ . Donc $X$ est vecteur propre, associé à la valeur propre $4$ .

Pour $Y$ . $A Y = (2 - 1 + 0, 1 - 2 + 0, 1 - 1 + 0) = (1, - 1, 0) = 1 \times Y$ . Donc $Y$ est vecteur propre, associé à la valeur propre $1$ .

Pour $Z$ . $A Z = (2 + 1 + 0, 1 + 2 + 0, 1 + 1 + 0) = (3, 3, 2)$ . Il faudrait $(3, 3, 2) = λ (1, 1, 0)$ , donc $λ = 3$ par les deux premières coordonnées et $2 = 0$ par la troisième : impossible, $Z$ n'est pas vecteur propre.

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