Vérifier une diagonalisation

Le premier produit. Ligne par colonne, $$AP=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& -2\\ 9& 2\end{array}\right),$$ le coefficient en haut à gauche valant $0\times 2+2\times 3=6$.

Le second. Multiplier à droite par une matrice diagonale revient à multiplier chaque colonne par le coefficient diagonal correspondant : $$PD=\left(\begin{array}{cc}2\times 3& 1\times (-2)\\ 3\times 3& (-1)\times (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& -2\\ 9& 2\end{array}\right).$$

L'égalité est vérifiée : $AP=PD$.

L'inversibilité de $P$. $ad-bc=2\times (-1)-1\times 3=-5\ne 0$, donc $P$ est inversible.

La conclusion. En multipliant $AP=PD$ à droite par $P^{-1}$, on obtient $A=PD{P}^{-1}$, avec $D$ diagonale et $P$ inversible : c'est exactement la définition d'une matrice diagonalisable.

Ce qu'on lit au passage. Les colonnes de $P$ sont des vecteurs propres de $A$, associés respectivement à $3$ et à $-2$.