Deux divergences

Première. ${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln x$, qui tend vers $+\infty$ : divergence.

Seconde. Une primitive de $t^{-1/2}$ est $2\sqrt{t}$, donc

$${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}=2\sqrt{x}-2\underset{x\to +\infty }{\to }+\infty :\text{ divergence}.$$

Comparons les vitesses. À $x=10^4$ : la seconde vaut $198$, la première seulement $9,21$. Deux divergences, dont l'une est très lente — mais « lent » n'est pas « fini ».

Le contraste. Avec $\frac{1}{t^2}$ et $\frac{1}{t^3}$, on convergeait. La frontière se situe entre $\frac{1}{t}$ et $\frac{1}{t^2}$, et l'on ne s'en approchera pas davantage dans ce livre.