Deux exponentielles décroissantes

Première. Une primitive de ${\mathrm{e}}^{-2t}$ est $-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-2t}$, donc

$${\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-2t}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-2x}\underset{x\to +\infty }{\to }\frac{1}{2}.$$

Seconde. Une primitive de $5{\mathrm{e}}^{-5t}$ est $-{\mathrm{e}}^{-5t}$, donc

$${\int }_0^{x}5{\mathrm{e}}^{-5t}\mathrm{d}t=1-{\mathrm{e}}^{-5x}\underset{x\to +\infty }{\to }1.$$

Ce qu'il faut voir. Le facteur $\lambda$ devant ${\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ est exactement celui qui rend l'aire totale égale à $1$. C'est pour cela qu'une densité exponentielle s'écrit $\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$, et pas ${\mathrm{e}}^{-\lambda t}$.