Deux exponentielles retranchées

La méthode. On calcule directement sur un segment, puis on passe à la limite ; la linéarité ne servira qu'à contrôler le résultat.

Une primitive. La fonction $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-3t}$ est continue sur $[0,+\infty [$. Comme ${\left(-{\mathrm{e}}^{-t}\right)}^{\prime }={\mathrm{e}}^{-t}$ et ${\left(\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{-3t}\right)}^{\prime }=-{\mathrm{e}}^{-3t}$, la fonction $F(t)=-{\mathrm{e}}^{-t}+\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{-3t}$ est une primitive.

Sur un segment. Pour $x>0$, $${\int }_0^x\left({\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-3t}\right)\mathrm{d}t={\left[-{\mathrm{e}}^{-t}+\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{-3t}\right]}_0^x=-{\mathrm{e}}^{-x}+\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{-3x}+1-\frac{1}{3}.$$

La limite. Comme $1>0$ et $3>0$, on a ${\mathrm{e}}^{-x}\to 0$ et ${\mathrm{e}}^{-3x}\to 0$ quand $x\to +\infty$. La limite vaut donc $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ : elle est finie, l'intégrale converge et $${\int }_0^{+\infty }\left({\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-3t}\right)\mathrm{d}t=\frac{2}{3}.$$

Contrôle par la linéarité. Les deux intégrales ${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=1$ et ${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-3t}\mathrm{d}t=\frac{1}{3}$ convergent chacune ; la linéarité s'applique alors et redonne $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$. C'est bien parce que les deux convergent séparément qu'on a le droit de les retrancher.