Deux intégrations par parties

Première intégration par parties. Avec $u(t)=t^2$ et $v^{\prime }(t)={\mathrm{e}}^{-t}$ :

$${\int }_0^x{t}^2{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-t^2{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^x+2{\int }_0^{x}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=-x^2{\mathrm{e}}^{-x}+2{\int }_0^{x}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t.$$

Deuxième. L'exercice précédent donne ${\int }_0^{x}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=-x{\mathrm{e}}^{-x}+1-{\mathrm{e}}^{-x}$, donc

$${\int }_0^x{t}^2{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=-x^2{\mathrm{e}}^{-x}-2x{\mathrm{e}}^{-x}+2-2{\mathrm{e}}^{-x}.$$

La limite. Par croissances comparées, $x^2{\mathrm{e}}^{-x}\to 0$ et $x{\mathrm{e}}^{-x}\to 0$. L'intégrale converge et vaut $2$.

Une régularité. On a trouvé $1$ pour $\int t{\mathrm{e}}^{-t}$ et $2$ pour $\int t^2{\mathrm{e}}^{-t}$. Le mécanisme se répète : chaque intégration par parties fait descendre l'exposant d'un cran et sort un facteur.