Le logarithme au carré

Le plan. Deux intégrations par parties successives sur $[1,x]$, puis une seule limite à la fin.

Première intégration par parties. Posons $u(t)=(\ln t{)}^2$ et $v^{\prime }(t)=t^{-3}$, donc $u^{\prime }(t)=\frac{2\ln t}{t}$ et $v(t)=-\frac{1}{2t^2}$. Pour $x>1$ : $${\int }_1^x\frac{(\ln t{)}^2}{t^3}\mathrm{d}t={\left[-\frac{(\ln t{)}^2}{2t^2}\right]}_1^x+{\int }_1^x\frac{\ln t}{t^3}\mathrm{d}t=-\frac{(\ln x{)}^2}{2x^2}+{\int }_1^x\frac{\ln t}{t^3}\mathrm{d}t,$$ le crochet en $1$ étant nul puisque $\ln 1=0$.

Seconde intégration par parties. Avec $u(t)=\ln t$ et $v^{\prime }(t)=t^{-3}$, donc $u^{\prime }(t)=\frac{1}{t}$ et $v(t)=-\frac{1}{2t^2}$ : $${\int }_1^x\frac{\ln t}{t^3}\mathrm{d}t={\left[-\frac{\ln t}{2t^2}\right]}_1^x+{\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{2t^3}=-\frac{\ln x}{2x^2}+{\left[-\frac{1}{4t^2}\right]}_1^x=-\frac{\ln x}{2x^2}-\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{4}.$$

Le total sur le segment. $${\int }_1^x\frac{(\ln t{)}^2}{t^3}\mathrm{d}t=\frac{1}{4}-\frac{(\ln x{)}^2}{2x^2}-\frac{\ln x}{2x^2}-\frac{1}{4x^2}.$$

La limite. Par croissances comparées, $\frac{\ln x}{x^2}\to 0$ et $\frac{(\ln x{)}^2}{x^2}\to 0$ ; enfin $\frac{1}{x^2}\to 0$. Les trois termes correctifs s'effacent, la limite vaut $\frac{1}{4}$, elle est finie : l'intégrale converge et vaut $\frac{1}{4}$.

Le point délicat. Le logarithme grandit sans borne, mais $t^3$ grandit plus vite : ce n'est pas parce qu'un facteur du numérateur tend vers l'infini que l'aire est infinie.