Le moment d'ordre deux d'une exponentielle

Sur le segment. Posons $u(t)=t^2$ et $v^{\prime }(t)=\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$, donc $u^{\prime }(t)=2t$ et $v(t)=-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$. Pour $x>0$ :

$${\int }_0^x{t}^2\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=[-t^2{\mathrm{e}}^{-\lambda t}{]}_0^x+{\int }_0^{x}2t{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=-x^2{\mathrm{e}}^{-\lambda x}+\frac{2}{\lambda }{\int }_0^{x}t\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t.$$

Le facteur $\frac{2}{\lambda }$ sort parce qu'on a multiplié et divisé par $\lambda$ pour reconnaître l'intégrale admise.

La limite du crochet. Par croissances comparées, $x^2{\mathrm{e}}^{-\lambda x}\to 0$ quand $x\to +\infty$, car $\lambda >0$.

La limite de l'intégrale restante. Elle tend vers $\frac{1}{\lambda }$ par hypothèse. Les deux limites existent et sont finies, donc l'intégrale converge et

$${\int }_0^{+\infty }{t}^2\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=0+\frac{2}{\lambda }\times \frac{1}{\lambda }=\frac{2}{{\lambda }^2}.$$

Contrôle. Pour $\lambda =1$ on trouve $2$, ce qui se vérifie directement en intégrant deux fois par parties $t^2{\mathrm{e}}^{-t}$.

Le point à retenir. Ces deux nombres donnent la dispersion d'une durée de vie exponentielle : $\frac{2}{{\lambda }^2}-{\left(\frac{1}{\lambda }\right)}^2=\frac{1}{{\lambda }^2}$, soit un écart-type égal à la moyenne.