Le seuil qui coupe l'aire en deux parts égales

Les deux aires. Une primitive de $\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ est $-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$. D'une part, pour $m>0$ : $${\int }_0^m\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=[-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}{]}_0^m=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda m}.$$ D'autre part, pour $x>m$, ${\int }_m^x\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t={\mathrm{e}}^{-\lambda m}-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}$, et comme $\lambda >0$ on a ${\mathrm{e}}^{-\lambda x}\to 0$ : cette intégrale converge et $${\int }_m^{+\infty }\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t={\mathrm{e}}^{-\lambda m}.$$

Contrôle. Les deux aires somment à $1$, ce qui est cohérent avec ${\int }_0^{+\infty }f=1$ : la relation de Chasles ne fait que couper une aire totale de $1$ en deux morceaux.

L'équation. L'égalité demandée s'écrit $1-{\mathrm{e}}^{-\lambda m}={\mathrm{e}}^{-\lambda m}$, c'est-à-dire ${\mathrm{e}}^{-\lambda m}=\frac{1}{2}$. Le logarithme, strictement croissant donc injectif, donne $-\lambda m=-\ln 2$, puis $$m=\frac{\ln 2}{\lambda }.$$ Chaque morceau vaut alors exactement $\frac{1}{2}$.

Application. Pour $\lambda =\frac{1}{3}$ : $m=3\ln 2\approx 2,079$.

Ce que cela annonce. Ce nombre $m$ est la médiane de la durée de vie que $f$ décrira au chapitre suivant : la moitié des matériels cassent avant $2,08$ an, l'autre moitié après. Il ne se confond pas avec la moyenne, qui vaudra $1/\lambda =3$ ans : quelques durées très longues tirent la moyenne vers le haut sans déplacer la médiane.