Sur la droite entière

On coupe en $0$, comme le veut la définition.

Morceau de droite. Pour $t\ge 0$, $|t|=t$ :

$${\int }_0^x\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\left(1-{\mathrm{e}}^{-x}\right)\underset{x\to +\infty }{\to }\frac{1}{2}.$$

Morceau de gauche. Pour $t\le 0$, $|t|=-t$ :

$${\int }_x^0\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\left(1-{\mathrm{e}}^x\right)\underset{x\to -\infty }{\to }\frac{1}{2}.$$

Conclusion. Les deux convergent, donc l'intégrale sur $\mathbb{R}$ converge et vaut $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.

Remarque. On aurait pu invoquer la symétrie : la fonction est paire, donc les deux moitiés sont égales. Mais il faut tout de même vérifier que chacune converge.