Un exposant et demi

Réécriture. Pour $t\ge 1$, $t\sqrt{t}=t^{3/2}$, donc la fonction à intégrer est $t\mapsto t^{-3/2}$, continue sur $[1,+\infty [$.

Une primitive. L'exposant $-\frac{3}{2}$ n'est pas $-1$ : une primitive est $$F(t)=\frac{t^{-3/2+1}}{-\frac{3}{2}+1}=\frac{t^{-1/2}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{2}{\sqrt{t}}.$$

Sur un segment. Pour $x>1$, $${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t^{3/2}}={\left[-\frac{2}{\sqrt{t}}\right]}_1^x=2-\frac{2}{\sqrt{x}}.$$

La limite. Quand $x\to +\infty$, $\sqrt{x}\to +\infty$ donc $\frac{2}{\sqrt{x}}\to 0$. La limite vaut $2$, finie : l'intégrale converge et vaut $2$.

Le contraste. Avec l'exposant $\frac{1}{2}$ au lieu de $\frac{3}{2}$, la primitive serait $2\sqrt{t}$ et l'intégrale divergerait. Entre les deux, l'exposant $1$ donne $\ln x$, qui diverge aussi : la bascule se fait exactement en $1$.