Un exposant laissé en paramètre

Ce que l'on montre. Que la réponse bascule en $\alpha =1$, et que la valeur, quand elle existe, vaut $\frac{1}{\alpha -1}$.

Le cas $\alpha =1$. Une primitive de $\frac{1}{t}$ est $\ln t$, donc ${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln x$, qui tend vers $+\infty$. L'intégrale diverge.

Le cas $\alpha \ne 1$. La fonction $t\mapsto t^{-\alpha }$ est continue sur $[1,+\infty [$, et $t\mapsto \frac{t^{1-\alpha }}{1-\alpha }$ en est une primitive, l'exposant $1-\alpha$ n'étant pas nul. Pour $x>1$ : $${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}={\left[\frac{t^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]}_1^x=\frac{x^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }.$$

Le passage à la limite, en deux temps.

• Si $\alpha >1$, alors $1-\alpha <0$, donc $x^{1-\alpha }=\frac{1}{x^{\alpha -1}}\to 0$. La limite vaut $\frac{-1}{1-\alpha }=\frac{1}{\alpha -1}$, finie : l'intégrale converge.
• Si $0<\alpha <1$, alors $1-\alpha >0$, donc $x^{1-\alpha }\to +\infty$, et le quotient tend vers $+\infty$ : l'intégrale diverge.

Conclusion. L'intégrale converge si et seulement si $\alpha >1$, et vaut alors $\frac{1}{\alpha -1}$. On retrouve $\alpha =2$ qui donne $1$, et $\alpha =3$ qui donne $\frac{1}{2}$.

Le point délicat. L'exposant $\alpha =1$ doit être traité à part : c'est le seul pour lequel la primitive n'est pas une puissance, et c'est exactement là que le comportement change.