Un facteur affine devant l'exponentielle

Le plan. On travaille sur le segment $[0,x]$, où toutes les règles usuelles sont valables, et l'on ne passe à la limite qu'à la fin.

Découpage sur le segment. Pour $x>0$, par linéarité sur $[0,x]$ : $${\int }_0^x(1+t){\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t+{\int }_0^{x}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t.$$

Premier morceau. ${\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^x=1-{\mathrm{e}}^{-x}$.

Second morceau, par parties. Posons $u(t)=t$ et $v^{\prime }(t)={\mathrm{e}}^{-t}$, donc $u^{\prime }(t)=1$ et $v(t)=-{\mathrm{e}}^{-t}$ ; ces fonctions sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,x]$. Alors $${\int }_0^{x}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-t{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^x+{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=-x{\mathrm{e}}^{-x}+1-{\mathrm{e}}^{-x}.$$

Total sur le segment. ${\int }_0^x(1+t){\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=2-2{\mathrm{e}}^{-x}-x{\mathrm{e}}^{-x}$.

La limite. On a ${\mathrm{e}}^{-x}\to 0$, et $x{\mathrm{e}}^{-x}\to 0$ par croissances comparées. La limite vaut $2$, elle est finie : l'intégrale converge et $${\int }_0^{+\infty }(1+t){\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=2.$$

Le point délicat. L'ordre des gestes ne s'inverse pas : on intègre par parties sur un segment, où le crochet est un nombre, et l'on passe à la limite ensuite. Écrire un crochet en $+\infty$ avant d'avoir établi la limite n'aurait pas de sens.